Encontre a solução geral das Equações abaixo:
\frac{y}{x} d y-\operatorname{sen} x^{2} d x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\frac{y}{x}\,dy \;-\;\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx \;=\;0.
Isso é uma equação de variáveis separáveis: podemos agrupar os termos em y de um lado e os termos em x do outro, depois integrar cada parte.

Passo 2

Reescrevendo e separando variáveis, temos
\frac{y}{x}\,dy = \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx \quad\Longrightarrow\quad y\,dy = x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Isso coloca todos os y junto de dy e todos os x junto de dx, caracterizando variáveis separáveis.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int y\,dy \;=\;\int x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Para o lado direito, usamos a substituição u = x^{2}, du = 2x\,dx, logo
\int x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac12\int \sin(u)\,du = -\tfrac12\cos(u) + C = -\tfrac12\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.
Do lado esquerdo,
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
Portanto
\frac{y^{2}}{2} = -\tfrac12\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Passo 4

Multiplicando por 2 e agrupando a constante em uma única letra, obtemos a forma implícita da solução geral:
y^{2} + \cos\bigl(x^{2}\bigr) = C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
y^{2} + \cos\bigl(x^{2}\bigr) = C.

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