Encontrar a solução particular da Equação abaixo dado as condições
a) \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}+y^{3}=0, \quad y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\sqrt{1-x^{2}}\;\frac{dy}{dx} + y^{3} = 0,
com condição inicial y(1)=1.
O conteúdo é EDO separável: vamos separar variáveis y e x e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{y^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Separamos variáveis para obter
\frac{dy}{y^{3}} = -\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y^{-3}\,dy = -\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}.
O lado esquerdo dá
\int y^{-3}\,dy = -\frac{1}{2\,y^{2}} + C_{1},
e o direito é
-\int (1-x^{2})^{-\tfrac12}dx = -\arcsin(x) + C_{2}.
Juntando constantes, obtemos
-\frac{1}{2\,y^{2}} = -\arcsin(x) + C.

Passo 4

Multiplicando por -2 e definindo C' = -2C, fica
\frac{1}{y^{2}} = 2\,\arcsin(x) + C'.

Passo 5

Usamos y(1)=1. Como \arcsin(1)=\tfrac{\pi}{2},
\frac{1}{1^{2}} = 2\cdot\frac{\pi}{2} + C' \quad\Longrightarrow\quad 1 = \pi + C' \quad\Longrightarrow\quad C' = 1-\pi.
Logo
\frac{1}{y^{2}} = 2\,\arcsin(x) + 1 - \pi \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = \frac{1}{\,2\,\arcsin(x) +1-\pi\,}.
Como em x=1 temos y=+1, escolhemos o ramo positivo.

Resposta

y(x) = \frac{1}{\sqrt{\,2\,\arcsin(x) +1 - \pi\,}}.

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