Encontre a solução geral das Equações abaixo:
\frac{d y}{d x}=e^{x+y}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
\frac{dy}{dx} = e^{x+y}.
Este é um caso de equação de variáveis separáveis: podemos isolar todas as ocorrências de y num lado e de x no outro, para depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo o lado direito como produto de potências, temos
\frac{dy}{dx} = e^x\,e^y
e então fazemos
e^{-y}\,dy = e^x\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int e^{-y}\,dy = \int e^x\,dx,
logo
-\,e^{-y} = e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, escrevemos
e^{-y} = -\,e^x - C = C_1 - e^x,
sendo C_1 = -C uma nova constante arbitrária. Aplicando logaritmo natural:
-\,y = \ln\bigl(C_1 - e^x\bigr)
e, finalmente,
y = -\,\ln\bigl(C_1 - e^x\bigr).

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = -\ln\bigl(C - e^x\bigr),
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados