Encontre a solução geral das Equações abaixo:
b) \frac{d y}{d x}=e^{x+y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=e^{x+y}
e pede a sua solução geral. Esse é um problema de equação de variáveis separáveis, pois podemos escrever o lado direito como um produto de funções de x e de y.

Passo 2

Reescrevendo o termo exponencial, temos
\frac{dy}{dx}=e^x\,e^y.
Agora separamos as variáveis colocando todos os termos que envolvem y de um lado e os que envolvem x do outro:
e^{-y}\,dy = e^x\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados da igualdade:
\int e^{-y}\,dy = \int e^x\,dx.
No lado esquerdo \int e^{-y}dy = -\,e^{-y} e no direito \int e^x dx = e^x. Incluindo a constante de integração C, obtemos
-\,e^{-y} = e^x + C.

Passo 4

Isolamos e^{-y} e depois y. Primeiro, multiplicando por -1,
e^{-y} = -\,e^x - C = C_1 - e^x,
onde C_1=-C é uma nova constante arbitrária. Aplicando logaritmo neperiano em ambos os lados,
-\,y = \ln\bigl(C_1 - e^x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = -\ln\bigl(C_1 - e^x\bigr).

Resposta

A solução geral da equação \dfrac{dy}{dx}=e^{x+y} é
y(x) = -\ln\bigl(C - e^x\bigr),
onde C é uma constante arbitrária.

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