Para que valores a série
sumn=1^infty(-1)^n+1 n(x-2)^n
converge?

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências centrada em 2
sumn=1^infty(-1)^n+1n(x-2)^n
e pede o conjunto de x em que ela converge. Vamos usar o Teste da Razão para séries de potências e depois checar os extremos.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão em módulo aos termos an = (-1)^n+1n(x-2)^n:
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty(n+1)l|x-2r|^,n+1nl|x-2r|^,n =limntoinftyn+1n,l|x-2r| =l|x-2r|
O teste diz que a série converge se l|x-2r|<1.

Passo 3

Da condição l|x-2r|<1 vem o intervalo de convergência aberto
1 < x < 3

Passo 4

Agora verificamos os extremos:
  • Em x=3, o termo geral vira (-1)^n+1n, cujos módulos não tendem a zero, logo diverge.
  • Em x=1, o termo geral é -n, que também não tende a zero, logo diverge.

Resposta

A série converge exatamente para
l|x-2r|<1,
ou seja, 1<x<3.

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