Encontre a circulação do campo F=(x^2-y) i+4 z j+x^2 k ao redor da curva gamma na qual o plano z=2 encontra o cone z=raizx^2+y^2 no sentido anti-horário quando visto de cima. Circulação: ointgamma F d r=integral duplaD(r o t F) k d A R: 4 pi

Passo 1

O enunciado pede a circulação de vec F=(x^2 - y),vec i + 4z,vec j + x^2,vec k ao longo da curva gamma definida pela interseção do plano z=2 com o cone z=raizx^2+y^2. Essa curva é o círculo x^2+y^2=4 em z=2, orientado no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver, vamos usar o Teorema de Stokes em sua forma de contorno-planar:
ointgammavec Fcdot dvec r ;=;integral duplaD(nablatimesvec F)cdotvec k,dA,
onde D é o disco x^2+y^2<=4 no plano z=2 projetado no plano xy e vec k é o vetor normal compatível com a orientação dada.

Passo 2

Calculamos o rotacional de vec F. Pelas fórmulas das componentes:
nablatimesvec F =l(tfracpartialpartial y(x^2)-tfracpartialpartial z(4z),; tfracpartialpartial z(x^2 - y)-tfracpartialpartial x(x^2),; tfracpartialpartial x(4z)-tfracpartialpartial y(x^2 - y)r)
Assim,
nablatimesvec F =(0-4,;0-2x,;0-(-1)) =(-4,,-2x,;1)

Passo 3

Pelo Teorema de Stokes em contorno planar, a circulação é
ointgammavec Fcdot dvec r =integral duplaD(nablatimesvec F)cdotvec k,dA
Como (nablatimesvec F)cdotvec k=1 em todo ponto e D é o disco de raio 2 no plano xy, temos
ointgammavec Fcdot dvec r =integral duplaD1,dA

Passo 4

O valor da integral dupla de 1 sobre o disco de raio 2 é a área de D, ou seja,
integral duplaD1,dA = pi,(2)^2 = 4pi

Resposta

4pi

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