Encontre a circulação do campo
ao redor da curva
na qual o plano
encontra o cone
no sentido anti-horário quando visto de cima. Circulação:
R:
Passo 1
O enunciado pede a circulação de
ao longo da curva
definida pela interseção do plano
com o cone
. Essa curva é o círculo
em
, orientado no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver, vamos usar o Teorema de Stokes em sua forma de contorno-planar:
onde
é o disco
no plano
projetado no plano
e
é o vetor normal compatível com a orientação dada.
Passo 2
Calculamos o rotacional de
. Pelas fórmulas das componentes:
Assim,
Passo 3
Pelo Teorema de Stokes em contorno planar, a circulação é
Como
em todo ponto e
é o disco de raio
no plano
, temos
Passo 4
O valor da integral dupla de
sobre o disco de raio
é a área de
, ou seja,