Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares.
(a) T: R^2 R^2 ; T(x, y)=(x^2, y).
(b) T: R^2 R^2 ; T(x, y)=(x, x+1).
(c) T: R^2 R^2 ; T(x, y)=(x+y, x-y).

Passo 1

O enunciado pede para a gente verificar, entre três aplicações T:R^2toR^2, quais satisfazem a definição de transformação linear. Lembrando que T é linear se, e somente se, para todo u,vinR^2 e todo escalar alpha, valerem
T(u+v)=T(u)+T(v),
T(alpha u)=alpha,T(u)
Um teste rápido é verificar se T(0,0)=(0,0); se falhar ali, já não é linear.

Passo 2

Para a função (a) definida por
T(x,y)=(x^2,y),
vamos checar a homogeneidade usando u=(1,0) e alpha=2. Temos
T(1,0)=(1^2,0)=(1,0),
T(2cdot(1,0))=T(2,0)=(2^2,0)=(4,0),
mas
2,T(1,0)=2,(1,0)=(2,0)
Como T(2u)neq 2,T(u), a homogeneidade falha e portanto (a) não é linear.

Passo 3

Para a função (b) dada por
T(x,y)=(x,;x+1),
já basta ver o valor em (0,0):
T(0,0)=(0,,0+1)=(0,1)neq(0,0)
Uma transformação linear precisa enviar o vetor zero no vetor zero, então (b) não é linear.

Passo 4

Para a função (c)
vamos mostrar aditividade e homogeneidade. Sejam e . Então
Para homogeneidade, seja :
Logo (c) satisfaz as duas propriedades. Em particular, podemos escrevê-la na forma matricial
confirmando-a como transformação linear.

Resposta

Somente a transformação (c) é linear.

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