Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares.
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para a gente verificar, entre três aplicações
, quais satisfazem a definição de transformação linear. Lembrando que
é linear se, e somente se, para todo
e todo escalar
, valerem
Um teste rápido é verificar se
; se falhar ali, já não é linear.
Passo 2
Para a função (a) definida por
vamos checar a homogeneidade usando
e
. Temos
mas
Como
, a homogeneidade falha e portanto (a) não é linear.
Passo 3
Para a função (b) dada por
já basta ver o valor em
:
Uma transformação linear precisa enviar o vetor zero no vetor zero, então (b) não é linear.
Passo 4
Para a função (c)
vamos mostrar aditividade e homogeneidade. Sejam
e
. Então
Para homogeneidade, seja
:
Logo (c) satisfaz as duas propriedades. Em particular, podemos escrevê-la na forma matricial
confirmando-a como transformação linear.
Resposta
Somente a transformação (c) é linear.