Encontrar uma transformação T: R^2 R^2 tal que o N(T) é gerado pelo vetor (2,1) e que o vetor (1,1) in Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma transformação linear T: R^2 R^2 que tenha duas propriedades:
  1. O núcleo de T (ou seja, todos os vetores que são mapeados para o vetor zero) é gerado pelo vetor (2,1) .
  2. O vetor (1,1) está na imagem de T (ou seja, existe pelo menos um vetor em R^2 que é mapeado para (1,1) ).
Vamos precisar entender conceitos de núcleo e imagem de transformações lineares, além de saber como representar T como uma matriz para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma transformação linear T: R^2 R^2 , a dimensão do núcleo de T mais a dimensão da imagem de T é igual à dimensão do espaço de partida, que no caso é 2. Isso é conhecido como o Teorema do Posto-Rank.
Matematicamente:
dim(N(T)) + dim(Im(T)) = 2
Como o núcleo N(T) é gerado por um vetor, a dimensão de N(T) é 1. Portanto:
1 + dim(Im(T)) = 2 implies dim(Im(T)) = 1
Isso significa que a imagem de T também é uma linha (um subespaço de dimensão 1) em R^2 .

Passo 3

Agora, vamos representar a transformação linear T como uma matriz A de 2 times 2 . Ou seja, T(x) = Ax , onde x é um vetor em R^2 .
Queremos que:
  1. N(T) = N(A) = span(2,1)
  2. (1,1) in Im(T) = Im(A)

Passo 4

Como a imagem de A é gerada por (1,1) e tem dimensão 1, isso significa que todas as colunas de A devem ser múltiplos de (1,1) . Ou seja, podemos escrever A da seguinte forma:
A = a & b a & b
onde a e b são números reais que precisamos determinar.

Passo 5

Agora, vamos garantir que o núcleo de A seja exatamente a linha gerada por (2,1) . Para isso, precisamos que:
A 2 1 = 0 0
Vamos calcular essa multiplicação:
a & b a & b 2 1 = 2a + b 2a + b = 0 0
Isso nos dá a equação:
2a + b = 0

Passo 6

Vamos resolver a equação 2a + b = 0 para encontrar uma relação entre a e b :
b = -2a
Podemos escolher um valor para a e determinar b . Por simplicidade, vamos escolher a = 1 . Então:
b = -2 times 1 = -2

Passo 7

Substituindo os valores de a e b na matriz A , temos:
A = 1 & -2 1 & -2

Resposta

A transformação linear T que satisfaz as condições do exercício é dada pela matriz:
T = 1 & -2 1 & -2

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