Encontrar uma transformação tal que o é gerado pelo vetor e que o vetor .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma transformação linear que tenha duas propriedades:
O núcleo de (ou seja, todos os vetores que são mapeados para o vetor zero) é gerado pelo vetor .
O vetor está na imagem de (ou seja, existe pelo menos um vetor em que é mapeado para ).
Vamos precisar entender conceitos de núcleo e imagem de transformações lineares, além de saber como representar como uma matriz para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma transformação linear , a dimensão do núcleo de mais a dimensão da imagem de é igual à dimensão do espaço de partida, que no caso é 2. Isso é conhecido como o Teorema do Posto-Rank.
Matematicamente:
Como o núcleo é gerado por um vetor, a dimensão de é 1. Portanto:
Isso significa que a imagem de também é uma linha (um subespaço de dimensão 1) em .
Passo 3
Agora, vamos representar a transformação linear como uma matriz de . Ou seja, , onde é um vetor em .
Queremos que:
Passo 4
Como a imagem de é gerada por e tem dimensão 1, isso significa que todas as colunas de devem ser múltiplos de . Ou seja, podemos escrever da seguinte forma:
onde e são números reais que precisamos determinar.
Passo 5
Agora, vamos garantir que o núcleo de seja exatamente a linha gerada por . Para isso, precisamos que:
Vamos calcular essa multiplicação:
a & b a & b 2 1 = 2a + b 2a + b = 0 0
Isso nos dá a equação:
2a + b = 0
Passo 6
Vamos resolver a equação 2a + b = 0 para encontrar uma relação entre a e b :
b = -2a
Podemos escolher um valor para a e determinar b . Por simplicidade, vamos escolher a = 1 . Então:
b = -2 times 1 = -2
Passo 7
Substituindo os valores de a e b na matriz A , temos:
A = 1 & -2 1 & -2
Resposta
A transformação linear T que satisfaz as condições do exercício é dada pela matriz: