Encontrar um valor aproximado com pelo menos três casas decimais para raizraiz2.

Passo 1

Resumo da questão: a gente precisa achar um valor aproximado de
raizraiz2
com pelo menos três casas decimais.
Conteúdo: radiciação (raízes quadradas) e método de aproximação (no nosso caso, método de Newton–Raphson).
O que vamos usar:
  • Saber que .
  • Aplicar primeiro para achar .
  • Depois achar com Newton, iterando até ter precisão suficiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos de um valor aproximado para
raiz2
A raiz quadrada de 2 é famosa e vale cerca de
raiz2 approx 1.41421356
Isso já atende a bem mais do que três casas decimais em 1.414.
Se quiser ver de onde vem: o método de Newton para xn+1 = xn + tfracAxn2, seria
mas como é muito conhecido, a gente já pega esse valor.

Passo 3

Agora vamos achar
raizraiz2 = raiz1.41421356
Usamos Newton de novo, definindo
A = 1.41421356, f(x)=x^2 - A, xn+1=xn + A/xn2
Escolho um chute inicial x1 = 1.2 + tfrac1.414213561.22 = 1.2 + 1.178511302 = 1.18925565 (porque x2 = 1.18925565 + tfrac1.414213561.189255652 approx 1.18925565 + 1.189156132 = 1.18920589 não tá longe de 1.414):
  • Iteração 1:
  • Iteração 2:
Já deu super convergência: o valor não muda na 4ª casa decimal.

Passo 4

Para ter pelo menos três casas decimais certas, basta olhar em x2 approx 1.18920589 :
Arredondando para três casas decimais, fica .

Resposta

raizraiz2 approx 1.189

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