Encontrar o valor de x que satisfaz a seguinte equação x^x=5.

Passo 1

Beleza, o problema pede para achar o valor de x que satisfaz
.
Isso cai na categoria de equações “transcendentes” (não dá pra isolar x só mexendo em potências e raízes comuns).
Para resolver, a gente vai usar duas ideias principais:
  1. Transformar em algo com exponencial e logaritmo (usar que ).
  2. Introduzir a função W de Lambert, que “inverte” expressões do tipo .
    Nas próximas etapas eu mostro passo a passo como encaixar tudo isso.

Passo 2

Primeiro, escrevemos
x^x = e^xln x
Logo a equação vira
e^xln x = 5
Tomando o logaritmo natural em ambos os lados:
xln x = ln 5

Passo 3

A gente quer algo no formato (e^u)cdot u = ln5Longrightarrow u,e^u = ln5 , porque aí aplica a função W de Lambert:
  1. Defina u = W(A).
  2. Então u = W(ln5) .
  3. Substituindo em :
Por definição de Lambert W, a solução de é
Aqui , então

Passo 4

Voltando a x = e^u = e^W(ln5) :
x approx e^0,756 approx 2,13
Agora, numericamente:
  1. .
  2. Uma boa aproximação de é cerca de (você pode achar isso em tabelas ou calculadora que suporte W).
  3. Logo

Resposta

boxedx = e^W(ln5) approx 2,13

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