Encontrar o valor das integrais definidas (os itens que precisarem dos métodos de substituição, mudança de variável ou por partes aconcelho deixarem para fazer depois de assistir a aula 2).
\int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}} \,dx
O método mais direto aqui é usar substituição, transformando a parte dentro da raiz em uma variável auxiliar.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} + 1,
logo
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2},
e também x^{2} = u - 1. Quando x vai de 0 a 2, u vai de 1 a 5.

Passo 3

Substituindo na integral original temos
\int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}} \,dx = \int_{1}^{5} \frac{(u-1)\,\bigl(\tfrac{du}{2}\bigr)}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2}\int_{1}^{5}(u-1)\,u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Expandindo o integrando e integrando em u:
(u-1)\,u^{-\tfrac12} = u^{\tfrac12}-u^{-\tfrac12},
então
\frac{1}{2}\int_{1}^{5}\bigl(u^{\tfrac12}-u^{-\tfrac12}\bigr)du = \frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{\tfrac{3}{2}}-2u^{\tfrac12}\right]_{1}^{5} = \left[\frac{1}{3}u^{\tfrac{3}{2}}-u^{\tfrac12}\right]_{1}^{5}.

Passo 5

Avaliaremos nos limites:
em u=5:
\frac{1}{3}\,5^{\tfrac{3}{2}}-5^{\tfrac12} = \frac{1}{3}\cdot5\sqrt{5}-\sqrt{5} = \Bigl(\frac{5}{3}-1\Bigr)\sqrt{5} = \frac{2}{3}\sqrt{5},
em u=1:
\frac{1}{3}\,1^{\tfrac{3}{2}}-1^{\tfrac12} = \frac{1}{3}-1 = -\frac{2}{3}.
Subtraindo:
\frac{2}{3}\sqrt{5} - \Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr) = \frac{2}{3}\sqrt{5} + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\bigl(\sqrt{5}+1\bigr).

Resposta

\frac{2}{3}\bigl(\sqrt{5}+1\bigr)

Exercícios relacionados