Encontrar o valor das integrais definidas (os itens que precisarem dos métodos de substituição, mudança de variável ou por partes aconcelho deixarem para fazer depois de assistir a aula 2).
\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(\operatorname{sen}(x))\left(1-(\cos (x))^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)\bigl(1-\cos^2(x)\bigr)\,dx,
que cai no conteúdo de integrais definidas e mudança de variável (substituição). Vamos usar a substituição u=\cos(x), pois observamos \sin(x)\,dx junto de uma função de \cos(x).

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \cos(x), \quad du = -\sin(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin(x)\,dx = -\,du.
Quando x=\frac{\pi}{3}, temos u=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac12.
Quando x=\frac{\pi}{2}, temos u=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
Assim a integral vira
\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)\bigl(1-\cos^2(x)\bigr)\,dx = \int_{u=\frac12}^{0}\bigl(1-u^2\bigr)\bigl(-\,du\bigr) = \int_{0}^{\frac12}\bigl(1-u^2\bigr)\,du.

Passo 3

Agora calculamos a primitiva de 1-u^2:
\int\bigl(1-u^2\bigr)\,du = u - \frac{u^3}{3} + C.
Logo
\int_{0}^{\frac12}\bigl(1-u^2\bigr)\,du =\left[u - \frac{u^3}{3}\right]_{0}^{\frac12} =\Bigl(\tfrac12 - \tfrac{(\tfrac12)^3}{3}\Bigr)-\bigl(0-0\bigr) =\tfrac12 - \tfrac{1}{24}.

Passo 4

Simplificando:
\tfrac12 - \tfrac{1}{24} =\frac{12}{24}-\frac{1}{24} =\frac{11}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{24}

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