Encontrar o valor das integrais definidas (os itens que precisarem dos métodos de substituição, mudança de variável ou por partes aconcelho deixarem para fazer depois de assistir a aula 2).
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}(\cos (x))^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}(\cos x)^{3}\,dx
Esse tipo de integral de potência ímpar de cosseno fica fácil se usarmos a identidade trigonométrica e depois uma substituição.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos^{3}x=\cos x\,(1-\sin^{2}x)
e reescrevemos a integral como
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos x\,(1-\sin^{2}x)\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\sin x, \quad du=\cos x\,dx.
Quando x=0, u=\sin0=0. Quando x=\tfrac{\pi}{6}, u=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac12. Assim a integral vira
\int_{u=0}^{u=\tfrac12}(1-u^{2})\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int(1-u^{2})\,du = \int1\,du-\int u^{2}\,du = u-\frac{u^{3}}{3}.

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a \tfrac12:
\Bigl[u-\frac{u^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{\tfrac12} = \Bigl(\frac12-\frac{(\tfrac12)^{3}}{3}\Bigr) - (0-0) = \frac12-\frac{1/8}{3} = \frac12-\frac{1}{24} = \frac{11}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{24}

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