Sejam A e B matrizes n times n. Verifique se as colocações são verdadeiras ou falsas.
det(A^t)=-det(A)

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede! Temos duas matrizes quadradas A e B de tamanho n times n . A afirmação que precisamos verificar é se o determinante da transposta de A é igual ao negativo do determinante de A , ou seja:
det(A^t) = -det(A)
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é determinante, o que é a transposta de uma matriz e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz A , denotada por A^t , é simplesmente a matriz que a gente obtém ao trocar as linhas pelas colunas de A . Por exemplo, se A é:
A = a & b c & d
Então, a transposta A^t é:
A^t = a & c b & d

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o determinante. O determinante é um número associado a uma matriz quadrada que, entre outras coisas, nos ajuda a saber se a matriz tem uma inversa. Algumas propriedades importantes do determinante são:
  1. Determinante da Transposta: O determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original.
det(A^t) = det(A)
  1. Determinate de Matriz Negativa: Se você multiplicar uma linha de uma matriz por -1, o determinante da nova matriz será o negativo do determinante original.

Passo 4

Voltando à afirmação do exercício:
det(A^t) = -det(A)
Segundo a propriedade que mencionamos, sabemos que det(A^t) = det(A) . Então, a afirmação está dizendo que:
det(A) = -det(A)

Passo 5

Vamos pensar no que isso significa. A única maneira dessa igualdade ser verdadeira é se det(A) = 0 . Ou seja, a afirmação seria verdadeira apenas se o determinante de A for zero.

Passo 6

Contudo, a questão não especifica que o determinante de A é zero. Geralmente, essa igualdade não é verdadeira para matrizes com determinante diferente de zero. Portanto, a afirmação não é verdadeira em geral.

Resposta

A afirmação é falsa.

Exercícios relacionados