Sejam
e
matrizes
. Verifique se as colocações são verdadeiras ou falsas.
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede! Temos duas matrizes quadradas
e
de tamanho
. A afirmação que precisamos verificar é se o determinante da transposta de
é igual ao negativo do determinante de
, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é determinante, o que é a transposta de uma matriz e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é simplesmente a matriz que a gente obtém ao trocar as linhas pelas colunas de
. Por exemplo, se
é:
Então, a transposta
é:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o determinante. O determinante é um número associado a uma matriz quadrada que, entre outras coisas, nos ajuda a saber se a matriz tem uma inversa. Algumas propriedades importantes do determinante são:
- Determinante da Transposta: O determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original.
- Determinate de Matriz Negativa: Se você multiplicar uma linha de uma matriz por
, o determinante da nova matriz será o negativo do determinante original.
Passo 4
Voltando à afirmação do exercício:
Segundo a propriedade que mencionamos, sabemos que
. Então, a afirmação está dizendo que:
Passo 5
Vamos pensar no que isso significa. A única maneira dessa igualdade ser verdadeira é se
. Ou seja, a afirmação seria verdadeira apenas se o determinante de
for zero.
Passo 6
Contudo, a questão não especifica que o determinante de
é zero. Geralmente, essa igualdade não é verdadeira para matrizes com determinante diferente de zero. Portanto, a afirmação não é verdadeira em geral.
Resposta
A afirmação é falsa.