Encontrar o vetor tangente ao cicloide. E achar a rapidez em
e
, se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o vetor tangente à cicloide e descobrir a rapidez (ou velocidade) nesse vetor quando o ângulo θ é 0 e π, sabendo que dθ/dt é igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas paramétricas e como calcular vetores tangentes e velocidades. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma cicloide é a trajetória que um ponto na borda de uma roda faz quando a roda rola sem escorregar sobre uma linha reta. A equação paramétrica da cicloide é geralmente dada por:
Aqui, consideramos que o raio da roda é 1 para simplificar os cálculos.
Passo 3
Agora, para encontrar o vetor tangente à cicloide, precisamos derivar as funções x(θ) e y(θ) em relação a θ. Isso nos dará a direção da curva em cada ponto θ.
Derivando x em relação a θ:
Derivando y em relação a θ:
Então, o vetor tangente T(θ) é:
Passo 4
Sabemos que a rapidez (ou módulo da velocidade) é dada pela derivada do vetor posição em relação ao tempo. Nesse caso, já temos a derivada em relação a θ, então precisamos multiplicar pelo dθ/dt para obter a velocidade em função do tempo.
Dado que dθ/dt = 1, a velocidade vetorial V é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a rapidez nos pontos onde θ = 0 e θ = π. A rapidez é o módulo do vetor velocidade V.
Para θ = 0:
Para θ = π:
Resposta
O vetor tangente à cicloide é
. A rapidez na posição θ = 0 é 0, e na posição θ = π é 2.