Encontrar o vetor tangente ao cicloide. E achar a rapidez em theta=0 e theta=pi, se d theta / d t=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o vetor tangente à cicloide e descobrir a rapidez (ou velocidade) nesse vetor quando o ângulo θ é 0 e π, sabendo que dθ/dt é igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas paramétricas e como calcular vetores tangentes e velocidades. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma cicloide é a trajetória que um ponto na borda de uma roda faz quando a roda rola sem escorregar sobre uma linha reta. A equação paramétrica da cicloide é geralmente dada por:
x(theta) = theta - sintheta
y(theta) = 1 - costheta
Aqui, consideramos que o raio da roda é 1 para simplificar os cálculos.

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor tangente à cicloide, precisamos derivar as funções x(θ) e y(θ) em relação a θ. Isso nos dará a direção da curva em cada ponto θ.
Derivando x em relação a θ:
dxdtheta = 1 - costheta
Derivando y em relação a θ:
dydtheta = sintheta
Então, o vetor tangente T(θ) é:
T(theta) = ( dxdtheta, dydtheta ) = (1 - costheta, sintheta)

Passo 4

Sabemos que a rapidez (ou módulo da velocidade) é dada pela derivada do vetor posição em relação ao tempo. Nesse caso, já temos a derivada em relação a θ, então precisamos multiplicar pelo dθ/dt para obter a velocidade em função do tempo.
Dado que dθ/dt = 1, a velocidade vetorial V é:
V(theta) = T(theta) cdot dthetadt = (1 - costheta, sintheta) cdot 1 = (1 - costheta, sintheta)

Passo 5

Agora, vamos calcular a rapidez nos pontos onde θ = 0 e θ = π. A rapidez é o módulo do vetor velocidade V.
Para θ = 0:
V(0) = (1 - cos0, sin0) = (1 - 1, 0) = (0, 0)
Rapidez = raiz0^2 + 0^2 = 0
Para θ = π:
V(pi) = (1 - cospi, sinpi) = (1 - (-1), 0) = (2, 0)
Rapidez = raiz2^2 + 0^2 = 2

Resposta

O vetor tangente à cicloide é (1 - costheta, sintheta) . A rapidez na posição θ = 0 é 0, e na posição θ = π é 2.

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