Questão 11 Use séries de potência para aproximar a integral definida com precisão indicada.
(quatro casas decimais).
Passo 1
O enunciado pede aproximar a integral
com quatro casas decimais, usando séries de potência. O conteúdo principal é a expansão em série de Maclaurin de
e a integração termo a termo.
Passo 2
A série de Maclaurin para
é válida para
e dada por
Passo 3
Multiplicando por
obtemos a expansão do integrando:
Passo 4
Podemos integrar termo a termo no intervalo
, pois a série converge uniformemente nele. Temos
e
Passo 5
Logo a integral vira a série
Passo 6
É uma série alternada com termos de módulo decrescente. Pelo teste de Leibniz, o erro ao truncar após
termos é no máximo o valor do próximo termo em módulo. Para garantir quatro casas decimais, basta que o próximo termo seja menor que
.
Passo 7
Calculando alguns termos:
-
-
-
O termo de ordemjá satisfaz , então truncamos após . A soma parcial é
Passo 8
Arredondando
a quatro casas decimais (olhando o quinto dígito) obtemos
Resposta
0,0059