Questão 11 Use séries de potência para aproximar a integral definida com precisão indicada.
integral0^1 / 2 x^3 arctg(x) d x (quatro casas decimais).

Passo 1

O enunciado pede aproximar a integral integral0^1/2 x^3arctan(x),dx com quatro casas decimais, usando séries de potência. O conteúdo principal é a expansão em série de Maclaurin de arctan(x) e a integração termo a termo.

Passo 2

A série de Maclaurin para arctan(x) é válida para |x|<=1 e dada por
arctan(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1

Passo 3

Multiplicando por x^3 obtemos a expansão do integrando:
x^3arctan(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+42n+1

Passo 4

Podemos integrar termo a termo no intervalo [0,,1/2], pois a série converge uniformemente nele. Temos
integral0^1/2x^3arctan(x),dx =sumn=0^infty(-1)^n12n+1integral0^1/2x^2n+4,dx
e
integral0^1/2x^2n+4,dx=(1/2)^2n+52n+5

Passo 5

Logo a integral vira a série
sumn=0^infty(-1)^n(1/2)^2n+5(2n+1)(2n+5)

Passo 6

É uma série alternada com termos de módulo decrescente. Pelo teste de Leibniz, o erro ao truncar após N termos é no máximo o valor do próximo termo em módulo. Para garantir quatro casas decimais, basta que o próximo termo seja menor que 5times10^-5.

Passo 7

Calculando alguns termos:
  • n=0: t0=dfrac(1/2)^51cdot5=dfrac1160=0,0062500000
  • n=1: t1=-dfrac(1/2)^73cdot7=-dfrac12688approx-0,0003720238
  • n=2: t2=dfrac(1/2)^95cdot9=dfrac123040approx0,0000434030
    O termo de ordem n=2 já satisfaz |t2|<5times10^-5, então truncamos após n=1. A soma parcial é
Sapprox t0+t1=0,0062500000-0,0003720238=0,0058779762

Passo 8

Arredondando S a quatro casas decimais (olhando o quinto dígito) obtemos
0,0059

Resposta

0,0059

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