Faca o esboco do grafico das seguintes funcoes, caso existam encontre as assintotas
(c) f(x)=x+|3 x-4|, f(x)=x-2x+2

Passo 1

O enunciado pede o esboço dos gráficos de
f1(x)=x+|3x-4|
e
f2(x)=x-2x+2,
além de identificar as assíntotas, se houver. Para isso usaremos a definição de valor absoluto por partes e, no caso de f2, análise de domínio, divisão de polinômios e comportamento assintótico.

Passo 2

Para tratar f1(x)=x+|3x-4| escrevemos em forma piecewise:
  • Se 3x-4>=0, ou seja x>=43, então |3x-4|=3x-4 e
f1(x)=x+(3x-4)=4x-4
  • Se 3x-4<0, ou seja x<43, então |3x-4|=-(3x-4)=4-3x e
f1(x)=x+(4-3x)=4-2x
No ponto x=tfrac43 ambas as expressões coincidem em
f1!l(tfrac43r)=4cdottfrac43-4=tfrac163-4=tfrac43

Passo 3

Esboço de f1:
  • Para x<tfrac43, reta de coeficiente angular -2 e intercepto 4: y=4-2x.
  • Para x>=tfrac43, reta de coeficiente angular 4 e intercepto -4: y=4x-4.
    O ponto de “quina” é l(tfrac43,tfrac43r). Como em cada ramo o gráfico é exatamente a reta, não há assíntotas externas além dessas próprias retas que definem o gráfico.

Passo 4

Analisando f2(x)=x-2x+2:
  • Domínio: xneq -2, então pode haver assíntota vertical em x=-2.
  • Dividindo x-2 por x+2:
x-2x+2 =1-4x+2
Isto mostra que, ao xtopminfty, f2(x)to1, ou seja há assíntota horizontal
y=1

Passo 5

Esboço de f2:
  • Há assíntota vertical x=-2.
  • Há assíntota horizontal y=1.
  • Intercepto em y: f2(0)=-1 (0,-1).
  • Raiz em x: x-2x+2=0Rightarrow x=2 (2,0).
    O gráfico é um ramo de hipérbole em x<-2 e outro em x>-2, aproximando-se de x=-2 e de y=1.

Resposta

Para
sem assíntotas adicionais (gráfico formado pelas duas retas acima).
Para e assíntota horizontal . Interceptos e .

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