Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
c) r(t) = t i + (t^2 + 1) j, t em [0, 4] ; P0(2, 5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o vetor tangente unitário de uma curva no ponto específico . Estamos lidando com cálculo vetorial, mais especificamente com vetores tangentes e vetores unitários. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada do vetor posição da curva e depois normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir para qual valor de o ponto está na curva definida por . Isso significa que:
Então, temos duas equações:
Resolvendo a segunda equação:
Portanto, o valor de é 2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor derivada , que representa o vetor tangente à curva em qualquer ponto :

Passo 4

Substituindo na derivada para encontrar o vetor tangente no ponto :

Passo 5

Para obter o vetor tangente unitário, precisamos normalizar . Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Resposta

O vetor tangente unitário à curva no ponto é:

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