Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o vetor tangente unitário de uma curva no ponto específico
. Estamos lidando com cálculo vetorial, mais especificamente com vetores tangentes e vetores unitários. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada do vetor posição da curva e depois normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir para qual valor de
o ponto
está na curva definida por
. Isso significa que:
Então, temos duas equações:
Resolvendo a segunda equação:
Portanto, o valor de
é 2.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor derivada
, que representa o vetor tangente à curva em qualquer ponto
:
Passo 4
Substituindo
na derivada para encontrar o vetor tangente no ponto
:
Passo 5
Para obter o vetor tangente unitário, precisamos normalizar
. Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor tangente unitário
é:
Resposta
O vetor tangente unitário à curva no ponto
é: