Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma curva definida por onde
varia de
a
. O que a gente precisa fazer é reparametrizar essa curva pelo comprimento de arco. Isso significa que, ao invés de usar o parâmetro
, vamos usar a distância ao longo da curva, que chamamos de
. Para isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento de arco e como relacionar
com
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para reparametrizar por comprimento de arco, precisamos encontrar a relação entre o parâmetro original
e o comprimento de arco
. Para isso, vamos calcular a derivada da função vetorial
em relação a
. Isso nos dá a velocidade da curva:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a velocidade escalar, que é o módulo dessa derivada:
Isso significa que a velocidade da curva é constante e igual a
.
Passo 4
O próximo passo é calcular o comprimento de arco
em função de
. A fórmula do comprimento de arco é:
Como
é constante, a integral fica simples:
Então, temos que:
Passo 5
Agora que conseguimos expressar
em função de
, podemos substituir na função original
para obter a parametrização pelo comprimento de arco:
Resposta
A parametrização pelo comprimento de arco é: