Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
a) vec(r)(t) = (raiz(2) * cos(t), raiz(2) * sen(t)), t in [0, 2 * pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma curva definida por onde varia de a . O que a gente precisa fazer é reparametrizar essa curva pelo comprimento de arco. Isso significa que, ao invés de usar o parâmetro , vamos usar a distância ao longo da curva, que chamamos de . Para isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento de arco e como relacionar com .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para reparametrizar por comprimento de arco, precisamos encontrar a relação entre o parâmetro original e o comprimento de arco . Para isso, vamos calcular a derivada da função vetorial em relação a . Isso nos dá a velocidade da curva:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a velocidade escalar, que é o módulo dessa derivada:
Isso significa que a velocidade da curva é constante e igual a .

Passo 4

O próximo passo é calcular o comprimento de arco em função de . A fórmula do comprimento de arco é:
Como é constante, a integral fica simples:
Então, temos que:

Passo 5

Agora que conseguimos expressar em função de , podemos substituir na função original para obter a parametrização pelo comprimento de arco:

Resposta

A parametrização pelo comprimento de arco é:

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