Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
h) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o vetor tangente unitário à curva definida por no ponto . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir para qual valor de a curva passa pelo ponto . Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:
Passo 3
Resolvendo a terceira equação já sabemos que . Vamos verificar se esse valor satisfaz as outras duas equações:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Então, é o valor que nos interessa.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada do vetor posição vec(r)(t) em relação a t, que nos dá o vetor velocidade . Derivando cada componente:
Passo 5
Vamos calcular o vetor velocidade no ponto :
Passo 6
Para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos normalizar o vetor velocidade. Primeiro, calculamos o módulo de :
Passo 7
Finalmente, o vetor tangente unitário T é dado por: