Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
h) r(t) = (e^t + 1, e^{-t} - 1, t) ; P0(2, 0, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o vetor tangente unitário à curva definida por no ponto . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir para qual valor de t a curva passa pelo ponto . Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:

Passo 3

Resolvendo a terceira equação já sabemos que . Vamos verificar se esse valor satisfaz as outras duas equações:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Então, é o valor que nos interessa.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada do vetor posição vec(r)(t) em relação a t, que nos dá o vetor velocidade . Derivando cada componente:

Passo 5

Vamos calcular o vetor velocidade no ponto :

Passo 6

Para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos normalizar o vetor velocidade. Primeiro, calculamos o módulo de :

Passo 7

Finalmente, o vetor tangente unitário T é dado por:

Resposta

O vetor tangente unitário à curva no ponto é .

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