Escreva a equação em coordenadas esféricas. rho^2 * (1 - 2 * cos^2(phi) ) = 16

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever a equação rho^2 * (1 - 2 * cos^2(phi) ) = 16 em coordenadas esféricas. Estamos trabalhando com geometria analítica e sistemas de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como as coordenadas esféricas se relacionam com as coordenadas cartesianas e entender um pouco sobre as equações de superfícies nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto é dado por , onde:
  • rho é a distância do ponto até a origem,
  • theta é o ângulo no plano xy a partir do eixo x (ângulo azimutal),
  • phi é o ângulo a partir do eixo z (ângulo polar).
A equação que temos já está em termos de rho e phi, então nossa missão é simplificar ou reescrever essa equação para entender melhor que tipo de superfície ela representa.

Passo 3

Vamos começar isolando na equação:
Agora, precisamos lembrar que pode ser relacionado com z nas coordenadas cartesianas, já que . Mas como queremos manter tudo em coordenadas esféricas, vamos tentar simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos utilizar uma identidade trigonométrica para simplificar . Sabemos que:
Substituindo isso na nossa equação:

Passo 5

Agora, podemos expressar a equação de forma mais limpa:
Isso significa que para cada ponto na superfície definida por essa equação, o valor de rho e phi está relacionado dessa maneira específica.

Resposta

A equação em coordenadas esféricas é .

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