Escreva a equação em coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever a equação
em coordenadas esféricas. Estamos trabalhando com geometria analítica e sistemas de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como as coordenadas esféricas se relacionam com as coordenadas cartesianas e entender um pouco sobre as equações de superfícies nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto é dado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem, -
é o ângulo no plano xy a partir do eixo x (ângulo azimutal), -
é o ângulo a partir do eixo z (ângulo polar).
A equação que temos já está em termos de
e
, então nossa missão é simplificar ou reescrever essa equação para entender melhor que tipo de superfície ela representa.
Passo 3
Vamos começar isolando
na equação:
Agora, precisamos lembrar que
pode ser relacionado com
nas coordenadas cartesianas, já que
. Mas como queremos manter tudo em coordenadas esféricas, vamos tentar simplificar a expressão.
Passo 4
Vamos utilizar uma identidade trigonométrica para simplificar
. Sabemos que:
Substituindo isso na nossa equação:
Passo 5
Agora, podemos expressar a equação de forma mais limpa:
Isso significa que para cada ponto na superfície definida por essa equação, o valor de
e
está relacionado dessa maneira específica.
Resposta
A equação em coordenadas esféricas é
.