Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
b) r(t) = (2 cos t, 3 sen t), t em [0, 2 pi]; t = pi/4

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma curva representada pela função vetorial , onde varia de t a 0. O objetivo é encontrar o vetor tangente unitário a essa curva no ponto em que . Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial para obter o vetor tangente e, em seguida, normalizá-lo para obter o vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor tangente a uma curva dada por vec(r)(t) é a derivada dessa função em relação a t, ou seja, . Esse vetor nos dá a direção da curva naquele ponto específico.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de vec(r)(t). Temos:
Então,

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto :
Sabemos que , então:

Passo 5

Para encontrar o vetor unitário, precisamos normalizar o vetor tangente. Isso significa dividir o vetor pela sua magnitude. Primeiro, calculamos a magnitude de :

Passo 6

Agora, dividimos cada componente de pela sua magnitude para obter o vetor unitário:

Resposta

O vetor tangente unitário à curva no ponto é .

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