Sabendo que L=lim x 0(a^x-1x)=ln a, calcule o limite L=lim x 2(2^2 x-4-15 x-10).
Bom Desempenho.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite:
L = limx 2(2^2x - 4 - 15x - 10)
Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar uma propriedade importante dos limites de funções exponenciais, que é:
limx 0(a^x - 1x) = ln a
Vamos ver como aplicar essa propriedade para encontrar o valor de .

Passo 2

Para facilitar o cálculo, vamos fazer uma substituição que torne o limite mais parecido com a propriedade que conhecemos. Vamos definir:
h = x - 2
Assim, quando x = 2 + h se aproxima de 2, se aproxima de 0. Agora, vamos reescrever em termos de :

Passo 3

Substituindo 2^2x - 4 = 2^2(2 + h) - 4 = 2^4 + 2h - 4 = 2^2h na expressão original do limite, temos:
5x - 10 = 5(2 + h) - 10 = 10 + 5h - 10 = 5h
E no denominador:
L = limh 0(2^2h - 15h)
Então, o limite agora fica:

Passo 4

Queremos ajustar essa expressão para aplicar a propriedade que conhecemos. Observe que:
2^2h - 15h = 2^2h - 12h times 2h5h = 2^2h - 12h times 25
Agora, focamos no primeiro fator:
2^2h - 12h

Passo 5

Aqui, podemos aplicar a propriedade dos limites que mencionamos no Passo 1. Note que:
limh 0(2^2h - 12h) = ln 2
Portanto, substituindo de volta na expressão:
L = ln 2 times 25 = 2 ln 25

Resposta

O limite vale .

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