Suponha que y = f(x) é uma função derivável dada implícitamente pela equação y^3 + 3 x y^2 - 4 = 0 0 . Suponha ainda que 1 pertence ao domínio de f.
Calcule f(1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é derivável e está definida de forma implícita pela equação . Nosso objetivo aqui é descobrir o valor de f(1), ou seja, o valor de y quando x = 1. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x = 1 na equação dada para facilitar as contas. Ficando assim:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar o valor de y. Uma maneira de fazer isso é tentar encontrar raízes racionais usando o teorema das raízes racionais, que sugere que as possíveis raízes são divisores do termo constante (nesse caso, 4) divididos pelos divisores do coeficiente líder (nesse caso, 1). Assim, as possíveis raízes são: , , .

Passo 4

Vamos testar essas possíveis raízes na equação para ver qual delas satisfaz a igualdade.
  • Testando :
Viu só? é uma raiz válida porque a equação iguala a zero.

Passo 5

Como encontramos uma raiz real , sabemos que . Não precisamos testar as outras possíveis raízes porque já encontramos a que interessa para o nosso problema.

Resposta

Portanto, .

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