Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Desenhe os gráficos da solução e do termo não-homogêneo; explique a relação entre eles.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
com
e
Aqui, a matéria que a gente vai usar envolve equações diferenciais lineares não homogêneas e métodos de solução como a solução geral da equação homogênea e uma solução particular. Vamos precisar entender como resolver a equação em partes, já que
muda de valor em
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação para
, onde
. A equação fica:
Passo 2.1: Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
As soluções dessa equação são combinações de funções seno e cosseno:
Passo 2.2: Encontrar uma solução particular da equação completa
.
Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular constante
.
Derivando:
Então, a solução particular é
.
Passo 2.3: Combinar a solução homogênea e a particular para obter a solução geral:
Passo 3
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Condição 1:
Substituindo
:
Condição 2:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Substituindo
:
Então, os valores são
e
.
Passo 4
Com
e
determinados, a solução para
é:
Agora, vamos resolver para
, onde
.
Passo 5
Para
, a equação fica homogênea:
A solução geral é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de continuidade em
.
Passo 6
Precisamos garantir que
e
sejam contínuas em
.
Passo 6.1: Calcular
e
usando a solução para
:
Passo 6.2: Igualar com a solução para
:
Passo 7
Agora, com
e
, a solução para
é:
Resposta
A solução completa do problema é dada por:
Essa solução mostra como
reage ao termo não-homogêneo
em diferentes intervalos de
.