Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Desenhe os gráficos da solução e do termo não-homogêneo; explique a relação entre eles.
  1. y'' + y = f(t) ; y(0) = 0, y'(0) = 1
f(t) = { 1, 0 <= t < pi/2; 0, pi/2 <= t < infinito }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
com
e
Aqui, a matéria que a gente vai usar envolve equações diferenciais lineares não homogêneas e métodos de solução como a solução geral da equação homogênea e uma solução particular. Vamos precisar entender como resolver a equação em partes, já que muda de valor em .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação para , onde . A equação fica:
Passo 2.1: Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
As soluções dessa equação são combinações de funções seno e cosseno:
Passo 2.2: Encontrar uma solução particular da equação completa .
Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular constante .
Derivando:
Então, a solução particular é .
Passo 2.3: Combinar a solução homogênea e a particular para obter a solução geral:

Passo 3

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Condição 1:
Substituindo :
Condição 2:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Substituindo :
Então, os valores são e .

Passo 4

Com e determinados, a solução para é:
Agora, vamos resolver para , onde .

Passo 5

Para , a equação fica homogênea:
A solução geral é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições de continuidade em .

Passo 6

Precisamos garantir que e sejam contínuas em .
Passo 6.1: Calcular e usando a solução para :
Passo 6.2: Igualar com a solução para :

Passo 7

Agora, com e , a solução para é:

Resposta

A solução completa do problema é dada por:
Essa solução mostra como reage ao termo não-homogêneo em diferentes intervalos de .

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