Encontre f(x) :
f^prime(x)=x^2-1x^4-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função f(x) cuja derivada é
f'(x)=x^2-1x^4-1
O conteúdo aqui é integração de função racional. Vamos usar fatoração e cancelar termos para simplificar a integral.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1)
Logo,
x^2-1x^4-1 =x^2-1(x^2-1)(x^2+1) =1x^2+1,
sempre que xneqpm1.

Passo 3

Agora integramos:
f(x)=integral f'(x),dx =integral 1x^2+1,dx
Sabemos da tabela de integrais que
integral 1x^2+1,dx = arctan(x)+C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

f(x)=arctan(x)+C

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