Encontre f(x) :
f^prime(x)=raiz5x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função f(x) cuja derivada é
f'(x)=raiz5x
O conteúdo envolvido é integração de uma função do tipo potência, pois podemos reescrever o radical como potência de x.

Passo 2

Reescrevemos
f'(x)=raiz5x=raiz5;x^-tfrac12
e montamos a integral que nos dá f(x):
f(x)=integral f'(x),dx =integral raiz5;x^-tfrac12,dx

Passo 3

Para integrar usamos a regra de potência integral x^n,dx=x^n+1n+1+C (valendo para nneq -1). Aqui n=-tfrac12, logo
integral x^-tfrac12,dx =x^-tfrac12+1-tfrac12+1+C =x^tfrac12tfrac12+C =2,x^tfrac12+C

Passo 4

Multiplicando por raiz5 e mantendo a constante de integração, temos
f(x)=raiz5,l(2,x^tfrac12r)+C =2raiz5,x^tfrac12+C =2raiz5x+C

Resposta

f(x)=2raiz5x+C,
onde C é constante de integração.

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