Resolva as integrais abaixo:
integral(1x+3 e^x+sec ^2(x)+x^2-1x^4-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integrall(1x + 3e^x + sec^2 x + x^2 - 1x^4 - 1r),dx. O conteúdo envolve linearidade de integrais, integrais imediatas de funções elementares e simplificação de frações algébricas.

Passo 2

Usando a propriedade de linearidade da integral, separamos em quatro integrais:
integral1x,dx + integral3e^x,dx + integralsec^2 x,dx + integralx^2-1x^4-1,dx

Passo 3

As três primeiras são integrais padrões:
  • integral1x,dx = ln|x| + C1.
  • integral3e^x,dx = 3e^x + C2.
  • integralsec^2 x,dx = tan x + C3.
    Aqui usamos que ddx(ln|x|)=1/x, ddx(e^x)=e^x e ddx(tan x)=sec^2 x.

Passo 4

Para a última integral, fatoramos o denominador:
x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)
Então
x^2 - 1x^4 - 1 = x^2 - 1(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 1x^2 + 1

Passo 5

Portanto,
integralx^2 - 1x^4 - 1,dx = integral1x^2 + 1,dx = arctan x + C4,
pois ddx(arctan x)=1/(1+x^2).

Resposta

ln|x| + 3e^x + tan x + arctan x + C

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