Exemplo de função em que partial^2 fpartial x partial y neq partial^2 fpartial y partial x : Considere a função
f(x, y)=l x y x^2-y^2x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Prove que:
(a) partial fpartial x(0, y)=-y, para y neq 0.
(b) partial fpartial y(x, 0)=x, para x neq 0.
(c) partial^2 fpartial x partial y(0,0) neq partial^2 fpartial y partial x(0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx,y,(x^2-y^2)x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede:
(a) calcular partial fpartial x(0,y) para yneq0,
(b) calcular partial fpartial y(x,0) para xneq0,
(c) mostrar que partial^2fpartial xpartial y(0,0)neqpartial^2fpartial ypartial x(0,0).
Vamos usar a definição de derivada parcial como limite de diferênça e avaliar cada caso.]

Passo 2

Queremos
partial fpartial x(0,y) =limhto0f(0+h,y)-f(0,y)h
Para yneq0 temos f(0,y)=0 e, se hneq0,
f(h,y) =h,y,(h^2-y^2)h^2+y^2
Logo
f(h,y)-0h =;y;h^2-y^2h^2+y^2 ;xrightarrow[hto0]; y;-y^2y^2 =-y
Portanto
partial fpartial x(0,y)=-y, yneq0

Passo 3

Agora
partial fpartial y(x,0) =limkto0f(x,0+k)-f(x,0)k
Para xneq0 temos f(x,0)=0 e, se kneq0,
f(x,k) =x,k,(x^2-k^2)x^2+k^2,
de modo que
f(x,k)-0k =;x;x^2-k^2x^2+k^2 ;xrightarrow[kto0]; x;x^2x^2 = x
Segue que
partial fpartial y(x,0)=x, xneq0

Passo 4

Para calcular as segundas parciais mistas em (0,0) precisamos primeiro
partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).
Usando definição,
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k=0

Passo 5

Agora a mista partial^2 fpartial ypartial x(0,0) é
limkto0partial fpartial x(0,k)-partial fpartial x(0,0)k =limkto0(-k)-0k=-1
E a outra ordem partial^2 fpartial xpartial y(0,0) é
limhto0partial fpartial y(h,0)-partial fpartial y(0,0)h =limhto0(h)-0h=1

Resposta

(a) partial fpartial x(0,y)=-y.
(b) partial fpartial y(x,0)=x.
(c) partial^2 fpartial ypartial x(0,0)=-1neq1=partial^2 fpartial xpartial y(0,0).

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