Exemplo de função em que
: Considere a função
Prove que:
(a)
partial fpartial x(0, y)=-y , para
y neq 0 .
(b)
partial fpartial y(x, 0)=x , para
x neq 0 .
(c)
partial^2 fpartial x partial y(0,0) neq partial^2 fpartial y partial x(0,0) .
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
(a) calcularpartial fpartial x(0,y) para
yneq0 ,
(b) calcularpartial fpartial y(x,0) para
xneq0 ,
(c) mostrar quepartial^2fpartial xpartial y(0,0)neqpartial^2fpartial ypartial x(0,0) .
Vamos usar a definição de derivada parcial como limite de diferênça e avaliar cada caso.]
(a) calcular
(b) calcular
(c) mostrar que
Vamos usar a definição de derivada parcial como limite de diferênça e avaliar cada caso.]
Passo 2
Queremos
Para
yneq0 temos
f(0,y)=0 e, se
hneq0 ,
Logo
Portanto
Passo 3
Agora
Para
xneq0 temos
f(x,0)=0 e, se
kneq0 ,
de modo que
Segue que
Passo 4
Para calcular as segundas parciais mistas em
(0,0) precisamos primeiro
partial fpartial x(0,0) e
partial fpartial y(0,0) .
Usando definição,
Usando definição,
Passo 5
Agora a mista
partial^2 fpartial ypartial x(0,0) é
E a outra ordem
partial^2 fpartial xpartial y(0,0) é
Resposta
(a)
partial fpartial x(0,y)=-y .
(b) partial fpartial y(x,0)=x .
(c) partial^2 fpartial ypartial x(0,0)=-1neq1=partial^2 fpartial xpartial y(0,0) .
(b)
(c)