Encontre f se f^prime=e^x+20(1+x^2)^-1 e f(0)=-2.

Passo 1

O enunciado nos dá a derivada
f'(x)=e^x + 20,(1+x^2)^-1
e a condição inicial f(0)=-2.
O conteúdo aqui é encontrar uma primitiva de f' (ou seja, integrar termo a termo) e depois usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Integramos termo a termo:
integral f'(x),dx = integral e^x,dx + 20integral 11+x^2,dx
Sabemos que integral e^x,dx = e^x e integral (1+x^2)^-1dx = arctan(x). Logo,
f(x)=e^x + 20,arctan(x) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição inicial f(0)=-2. Substituindo x=0 em
f(0)=e^0 + 20,arctan(0) + C = 1 + 0 + C,
temos
1 + C = -2 Longrightarrow C=-3
Portanto
f(x)=e^x + 20,arctan(x) - 3

Resposta

f(x)=e^x + 20,arctan(x) - 3

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