Esboce o gráfico das funções abaixo. Calcule e represente no gráfico os pontos de mínimo, máximo, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, se houver.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
identificando domínio, assíntotas verticais e horizontais, extremos e pontos de inflexão. O conteúdo que vamos usar inclui análise de domínio, limites nos infinitos e em pontos críticos, derivadas primeira e segunda para monotonicidade, extremos e concavidade.
Passo 2
Determinar o domínio e as assíntotas verticais. O denominador não pode ser zero, logo o domínio é
Em
temos
logo há uma assíntota vertical em
Passo 3
Determinar a assíntota horizontal reescrevendo
Para
,
, então
o que indica uma assíntota horizontal em
Passo 4
Analisar a derivada primeira para monotonicidade e extremos. Calculamos
Como
para todo
, segue que
em todo o domínio. Portanto a função é estritamente decrescente em
e em
, sem pontos críticos onde
. Concluímos que não há máximos nem mínimos locais.
Passo 5
Analisar a derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão. Derivando novamente,
Esse valor nunca se anula para
. Para
,
e
(côncava para baixo); para
,
e
(côncava para cima). A mudança de concavidade ocorreria em
, mas ali não há ponto da função. Logo não há pontos de inflexão no domínio.
Passo 6
Síntese para o esboço do gráfico:
- Domínio:
. - Assíntotas: vertical em
, horizontal em . - Monotonicidade: decrescente em todo o domínio (sem extremos).
- Concavidade: côncava para baixo em
e para cima em (sem inflexões). - Para
, ; em , ; em , . - Para
, ; em , ; para , .
Resposta
A função
tem
- Domínio
. - Assíntotas em
(vertical) e (horizontal). - É estritamente decrescente em cada ramo, sem máximos ou mínimos.
- É côncava para baixo quando
e côncava para cima quando , sem pontos de inflexão.
O esboço consiste em dois ramos de hipérbole deslocada, um no quadrante inferior esquerdo aproximando-se de
por baixo e descendo para
em
, e outro no quadrante superior direito subindo para
em
e aproximando-se de
por cima.