Esboce o gráfico das funções abaixo. Calcule e represente no gráfico os pontos de mínimo, máximo, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, se houver.
y=xx-1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
y = xx-1
identificando domínio, assíntotas verticais e horizontais, extremos e pontos de inflexão. O conteúdo que vamos usar inclui análise de domínio, limites nos infinitos e em pontos críticos, derivadas primeira e segunda para monotonicidade, extremos e concavidade.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas verticais. O denominador não pode ser zero, logo o domínio é
xinRmid xneq1
Em xto1 temos
limxto1^+xx-1=+infty e limxto1^-xx-1=-infty,
logo há uma assíntota vertical em
x=1

Passo 3

Determinar a assíntota horizontal reescrevendo
y = xx-1 = 1 + 1x-1
Para xtopminfty, tfrac1x-1to0, então
limxtopminftyy = 1,
o que indica uma assíntota horizontal em
y=1

Passo 4

Analisar a derivada primeira para monotonicidade e extremos. Calculamos
y' = (x-1)cdot1 - xcdot1(x-1)^2 = -1(x-1)^2
Como (x-1)^2>0 para todo xneq1, segue que y'<0 em todo o domínio. Portanto a função é estritamente decrescente em (-infty,1) e em (1,infty), sem pontos críticos onde y'=0. Concluímos que não há máximos nem mínimos locais.

Passo 5

Analisar a derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão. Derivando novamente,
y'' = ddxl(-1(x-1)^2r) = 2,(x-1)^-3 = 2(x-1)^3
Esse valor nunca se anula para xneq1. Para x<1, (x-1)^3<0 e y''<0 (côncava para baixo); para x>1, (x-1)^3>0 e y''>0 (côncava para cima). A mudança de concavidade ocorreria em x=1, mas ali não há ponto da função. Logo não há pontos de inflexão no domínio.

Passo 6

Síntese para o esboço do gráfico:
  • Domínio: xneq1.
  • Assíntotas: vertical em x=1, horizontal em y=1.
  • Monotonicidade: decrescente em todo o domínio (sem extremos).
  • Concavidade: côncava para baixo em (-infty,1) e para cima em (1,infty) (sem inflexões).
  • Para xto-infty, yto1^-; em x=0, y=0; em xto1^-, yto-infty.
  • Para xto1^+, yto+infty; em x=2, y=2; para xto+infty, yto1^+.

Resposta

A função y=tfracxx-1 tem
  1. Domínio Rsetminus1.
  2. Assíntotas em x=1 (vertical) e y=1 (horizontal).
  3. É estritamente decrescente em cada ramo, sem máximos ou mínimos.
  4. É côncava para baixo quando x<1 e côncava para cima quando x>1, sem pontos de inflexão.
O esboço consiste em dois ramos de hipérbole deslocada, um no quadrante inferior esquerdo aproximando-se de y=1 por baixo e descendo para -infty em x=1^-, e outro no quadrante superior direito subindo para +infty em x=1^+ e aproximando-se de y=1 por cima.

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