1. f(x)=ln (x^2-2 x)
  2. f(x)=ln ln ln x
  3. Se f(x)=ln (x+ln x), encontre f^prime(1).
  4. Se f(x)=cos (ln x^2), encontre f^prime(1).

Passo 1

Temos quatro funções envolvendo logaritmo e função composta, e precisamos usar regra da cadeia e derivada de ln u e de funções trigonométricas para encontrar (a) f'(x) em cada caso e em dois deles também avaliar em x=1.

Passo 2

Para f(x)=lnl(x^2-2xr) tomamos u(x)=x^2-2x. Então
u'(x)=2x-2
e pela regra da derivada do logaritmo
f'(x)=u'(x)u(x)=2x-2x^2-2x =2(x-1)x(x-2)

Passo 3

Para f(x)=lnlnln x definimos em cascata
u1(x)=ln x, u2(x)=lnl(u1(x)r), f(x)=lnl(u2(x)r)
As derivadas são
u1'(x)=1x, u2'(x)=u1'(x)u1(x)=1x,ln x, f'(x)=u2'(x)u2(x)=1lnln x,1x,ln x

Passo 4

Para f(x)=lnl(x+ln xr) seja v(x)=x+ln x. Então
v'(x)=1+1x=x+1x,
e
f'(x)=v'(x)v(x)=x+1xx+ln x =x+1xl(x+ln xr)
Em particular, para x=1 temos ln1=0 e
f'(1)=1+11cdot(1+0)=2

Passo 5

Para f(x)=cosl(ln x^2r) note que ln x^2=2ln x. Usando regra da cadeia em duas etapas,
ddxln x^2=2x, f'(x)=-sinl(ln x^2r)cdot2x =-2x,sinl(2ln xr)
Em x=1 vem ln1=0 e sin(0)=0, logo
f'(1)=0

Resposta

Para 35. f'(x)=dfrac2(x-1)x(x-2).
Para 36. f'(x)=dfrac1lnln x,dfrac1xln x.
Para 37. f'(x)=dfracx+1x(x+ln x), logo f'(1)=2.
Para 38. f'(x)=-dfrac2xsinl(2ln xr), logo f'(1)=0.

Exercícios relacionados