Mostre que f(x)=cos (x^2) não uniformemente contínua. (Sugestão: encontre duas sequências (xn),(yn) subset R tal que lim n +infty(xn-yn)=0, mas não existe lim n +infty[f(xn)-f(yn)]=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=cosl(x^2r)
não é uniformemente contínua em R.
Lembrando a definição, f não é uniformemente contínua se existe varepsilon>0 tal que, para todo de<a>0, podemos encontrar x,y com
lvert x - yrvert<de<a
porém
lvert f(x)-f(y)rvert>= varepsilon.
A ideia é construir duas sequências l(xnr) e l(ynr) tais que
limntoinfty(xn-yn)=0
mas lvert f(xn)-f(yn)rvert não tende a zero.

Passo 2

Escolhemos
xn = raiznpi e yn = raiznpi + pi
para n=1,2,3,dots.
Então
f(xn) = cosl((raiznpi)^2r) = cos(npi) = (-1)^n,
f(yn) = cosl((raiznpi+pi)^2r) = cosl(npi + pir) = (-1)^n+1

Passo 3

Calculamos a distância entre xn e yn:
lvert xn-ynrvert = llvert raiznpi+pi - raiznpirrvert = piraiznpi+pi + raiznpi
Como o denominador cresce sem limite quando ntoinfty, segue que
limntoinftylvert xn-ynrvert = 0

Passo 4

Agora a diferença dos valores de f em xn e yn é
lvert f(xn) - f(yn)rvert = llvert (-1)^n - (-1)^n+1rrvert = 2
para todo n. Em particular, essa diferença não tende a zero.

Resposta

Concluímos que existem sequências com lvert xn-ynrvertto0 mas
lvert f(xn)-f(yn)rvertnotto0. Logo cos(x^2) não é uniformemente contínua em R.

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