Quando retiramos ovos de uma cesta de 2, 3, 4, 5 e 6 unidades por vez, restam 1, 2, 3, 4 e 5 ovos, respectivamente. Mas não resta nenhum ovo se retiramos 7 unidades por vez. Determine o menor número possível de ovos.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos o menor número de ovos N que satisfaça as seguintes condições de resto:
N equiv 1 pmod2,
N equiv 2 pmod3,
N equiv 3 pmod4,
N equiv 4 pmod5,
N equiv 5 pmod6,
e
N equiv 0 pmod7.
O conteúdo aqui é o Teorema Chinês dos Restos e cálculo de mínimo múltiplo comum.

Passo 2

Observe que as cinco primeiras congruências podem ser escritas como
N equiv -1 pmodk (k=2,3,4,5,6),
ou seja, N+1 é múltiplo de cada k em 2,3,4,5,6. Logo,
N+1 é mú<iplo de lcm(2,3,4,5,6) éú
Como lcm(2,3,4,5,6)=60, temos
N+1=60m Longrightarrow N=60m-1,
para algum inteiro m>0.

Passo 3

Agora impomos a condição com 7:
Nequiv0pmod7 Longrightarrow 60m-1equiv0pmod7 Longrightarrow 60mequiv1pmod7
Como 60equiv4pmod7, isso vira
4mequiv1pmod7

Passo 4

Precisamos do inverso de 4 em bmod7, que é 2 (porque 4cdot2=8equiv1pmod7). Multiplicando ambos os lados por 2:
mequiv2pmod7 Longrightarrow m=7k+2,
para algum inteiro k>=0.

Passo 5

Para obter o menor N, tomamos k=0, logo m=2 e
N=60cdot2-1=119

Resposta

119

Exercícios relacionados