Se A é 3 times 3 e det(2 A^-1)=-4 e det(A^3(B^-1)^T)=-4, encontre det A e det B.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz 3times3 tal que
detl(2A^-1r) = -4
e também
detl(A^3 (B^-1)^Tr) = -4
Para resolver, vamos usar as propriedades de determinante:
  1. det(lambda M)=lambda^ndet(M) se M é ntimes n.
  2. det(M^-1)=1/det(M).
  3. det(M^T)=det(M).

Passo 2

Aplicando a primeira condição, como A é 3times3 temos
detl(2A^-1r)=2^3detl(A^-1r) =8cdot1det(A)
e isso vale -4. Logo,
8det(A) = -4 Longrightarrow det(A) = -2

Passo 3

Agora usemos a segunda condição. De novo para matrizes 3times3,
detl(A^3 (B^-1)^Tr) =det(A^3),detl((B^-1)^Tr) =l(det(A)r)^3;det(B^-1) =(-2)^3cdot1det(B) =-8cdot1det(B)
Isso deve ser igual a -4, logo
-8det(B) = -4 Longrightarrow det(B) = 2

Resposta

det(A) = -2 e det(B) = 2.

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