Substituiçōes trigonométricas Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
integral xx^2-2 x+3 d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral
integral xx^2-2 x+3 , dx
. Isso faz parte do conteúdo de substituições trigonométricas e integrais racionais. Vamos precisar usar a técnica de completar o quadrado no denominador e fazer uma substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 - 2x + 3. Completar o quadrado ajuda a transformar a expressão em uma forma que é mais fácil de integrar.
x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2
Isso porque:
(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1
Então, adicionamos 2 para chegar em 3.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = x - 1. Assim, a derivada de u em relação a x é:
du = dx
Isso significa que dx = du.

Passo 4

Substituindo u = x - 1 na integral original:
integral xx^2-2 x+3 , dx = integral u + 1u^2 + 2 , du
Dividimos o numerador em duas partes para facilitar a integração:
integral uu^2 + 2 , du + integral 1u^2 + 2 , du

Passo 5

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
  1. Primeira Integral:
integral uu^2 + 2 , du
Aqui, percebemos que o numerador é a derivada do denominador. Então, usamos a fórmula:
integral f'(u)f(u) , du = ln|f(u)| + C
Aplicando isso:
12 ln(u^2 + 2) + C
  1. Segunda Integral:
integral 1u^2 + 2 , du
Essa é uma integral que resulta em uma função arco-tangente. Usamos a fórmula:
integral 1u^2 + a^2 , du = 1a arctan(ua) + C
Aqui, a = raiz2, então:
1raiz2 arctan(uraiz2) + C

Resposta

Juntando tudo e voltando para x, temos:
integral xx^2-2 x+3 , dx = 12 ln(x^2 - 2x + 3) + 1raiz2 arctan(x - 1raiz2) + C

Exercícios relacionados