Substituiçōes trigonométricas Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
Passo 1
Então, a gente tem que resolver a integral
. Isso faz parte do conteúdo de substituições trigonométricas e integrais racionais. Vamos precisar usar a técnica de completar o quadrado no denominador e fazer uma substituição para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador
. Completar o quadrado ajuda a transformar a expressão em uma forma que é mais fácil de integrar.
Isso porque:
Então, adicionamos 2 para chegar em 3.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que
.
Passo 4
Substituindo
na integral original:
Dividimos o numerador em duas partes para facilitar a integração:
Passo 5
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
- Primeira Integral:
Aqui, percebemos que o numerador é a derivada do denominador. Então, usamos a fórmula:
Aplicando isso:
- Segunda Integral:
Essa é uma integral que resulta em uma função arco-tangente. Usamos a fórmula:
Aqui,
, então:
Resposta
Juntando tudo e voltando para
, temos: