Substituiçōes trigonométricas Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado com substituições trigonométricas, que são úteis para integrar expressões que envolvem raízes de polinômios quadráticos. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica adequada e seguir os passos para simplificar e integrar a expressão.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é , que é uma expressão quadrática do tipo . Para integrar uma raiz quadrada desse tipo, usamos a substituição trigonométrica:
Essa substituição simplifica a expressão dentro da raiz.
Passo 3
Com a substituição , precisamos encontrar . Derivando ambos os lados em relação a :
Então, a expressão dentro da raiz fica raiz2 tan^2 theta = raiz2 |tan theta|. Como theta está na faixa onde tan theta é positiva, podemos simplificar para raiz2 tan theta.
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
integral raiz2 tan theta cdot raiz23 sec theta tan theta , dtheta = integral 2raiz3 tan^2 theta sec theta , dtheta
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
2raiz3 integral tan^2 theta sec theta , dtheta
Lembramos que tan^2 theta = sec^2 theta - 1, então:
2raiz3 integral (sec^2 theta - 1) sec theta , dtheta = 2raiz3 ( integral sec^3 theta , dtheta - integral sec theta , dtheta )
Passo 7
Integrando cada termo separadamente:
integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C
integral sec^3 theta , dtheta é uma integral padrão cujo resultado é:
12 sec theta tan theta + 12 ln |sec theta + tan theta| + C
Passo 8
Substituindo de volta:
2raiz3 ( 12 sec theta tan theta + 12 ln |sec theta + tan theta| - ln |sec theta + tan theta| ) + C
Simplificando:
2raiz3 ( 12 sec theta tan theta - 12 ln |sec theta + tan theta| ) + C = 1raiz3 sec theta tan theta - 1raiz3 ln |sec theta + tan theta| + C
Passo 9
Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = raiz23 sec theta, então:
sec theta = xraiz23 = x raiz32 e tan theta = raizsec^2 theta - 1 = raiz3x^2 - 2raiz2
Substituindo esses valores:
1raiz3 cdot ( x raiz32 cdot raiz3x^2 - 2raiz2 ) - 1raiz3 ln | x raiz32 + raiz3x^2 - 2raiz2 | + C
Simplificando:
x raiz3x^2 - 23 - 1raiz3 ln ( x raiz32 + raiz3x^2 - 2raiz2 ) + C
Resposta
A integral é igual a:
x raiz3x^2 - 23 - 1raiz3 ln ( x raiz32 + raiz3x^2 - 2raiz2 ) + C