Substituiçōes trigonométricas Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
integral raiz3 x^2-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raiz3 x^2-2 , dx. Esse exercício está relacionado com substituições trigonométricas, que são úteis para integrar expressões que envolvem raízes de polinômios quadráticos. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica adequada e seguir os passos para simplificar e integrar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é 3x^2 - 2, que é uma expressão quadrática do tipo a x^2 - b. Para integrar uma raiz quadrada desse tipo, usamos a substituição trigonométrica:
x = raiz23 sec theta
Essa substituição simplifica a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Com a substituição x = raiz23 sec theta, precisamos encontrar dx. Derivando ambos os lados em relação a theta:
dx = raiz23 sec theta tan theta , dtheta

Passo 4

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral raiz3 ( raiz23 sec theta )^2 - 2 cdot raiz23 sec theta tan theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
3 ( 23 sec^2 theta ) - 2 = 2 sec^2 theta - 2 = 2 (sec^2 theta - 1) = 2 tan^2 theta
Então, a expressão dentro da raiz fica raiz2 tan^2 theta = raiz2 |tan theta|. Como theta está na faixa onde tan theta é positiva, podemos simplificar para raiz2 tan theta.

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral raiz2 tan theta cdot raiz23 sec theta tan theta , dtheta = integral 2raiz3 tan^2 theta sec theta , dtheta

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
2raiz3 integral tan^2 theta sec theta , dtheta
Lembramos que tan^2 theta = sec^2 theta - 1, então:
2raiz3 integral (sec^2 theta - 1) sec theta , dtheta = 2raiz3 ( integral sec^3 theta , dtheta - integral sec theta , dtheta )

Passo 7

Integrando cada termo separadamente:
  1. integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C
  2. integral sec^3 theta , dtheta é uma integral padrão cujo resultado é:
12 sec theta tan theta + 12 ln |sec theta + tan theta| + C

Passo 8

Substituindo de volta:
2raiz3 ( 12 sec theta tan theta + 12 ln |sec theta + tan theta| - ln |sec theta + tan theta| ) + C
Simplificando:
2raiz3 ( 12 sec theta tan theta - 12 ln |sec theta + tan theta| ) + C = 1raiz3 sec theta tan theta - 1raiz3 ln |sec theta + tan theta| + C

Passo 9

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = raiz23 sec theta, então:
sec theta = xraiz23 = x raiz32 e tan theta = raizsec^2 theta - 1 = raiz3x^2 - 2raiz2
Substituindo esses valores:
1raiz3 cdot ( x raiz32 cdot raiz3x^2 - 2raiz2 ) - 1raiz3 ln | x raiz32 + raiz3x^2 - 2raiz2 | + C
Simplificando:
x raiz3x^2 - 23 - 1raiz3 ln ( x raiz32 + raiz3x^2 - 2raiz2 ) + C

Resposta

A integral é igual a:
x raiz3x^2 - 23 - 1raiz3 ln ( x raiz32 + raiz3x^2 - 2raiz2 ) + C

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