Se a velocidade em função do tempo de uma partícula ao longo do eixo x é dada, em cada problema calcule: a) A posição em função do tempo; b) A aceleração em função do tempo; c) A posição, velocidade e aceleração da partícula no instante t=5 s.
v(t)=8 t^2-20 ; x(20)=60;

Passo 1

O enunciado dá a velocidade de uma partícula ao longo do eixo x como
v(t)=8,t^2-20
e diz que em t=20,s a posição é x(20)=60.
Conteúdo: cinemática unidimensional, envolvendo integração de velocidade para achar posição e derivação de velocidade para achar aceleração. Precisamos:
  • integrar v(t) para obter x(t) com constante de integração ajustada pela condição x(20)=60,
  • derivar v(t) para obter a(t),
  • avaliar x(5), v(5) e a(5).

Passo 2

Integramos v(t) para achar x(t).
x(t)=integral v(t),dt=integrall(8,t^2-20r)dt =8cdott^33-20,t + C =83,t^3-20,t + C

Passo 3

Usamos a condição x(20)=60 para determinar C.
x(20)=83,(20)^3-20cdot20 + C=60
Calculando:
83cdot8000= 640003,
-20cdot20=-400,
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640003-400 + C=60 ;Longrightarrow; C=60+400-640003 =460-640003 =1380-640003 =-626203
Portanto
x(t)=83,t^3-20,t -626203

Passo 4

Derivamos v(t) para obter a aceleração a(t):
a(t)=dvdt=ddtl(8,t^2-20r)=16,t

Passo 5

Avaliamos em t=5,s:
v(5)=8cdot5^2-20=8cdot25-20=200-20=180,
a(5)=16cdot5=80,
x(5)=83,5^3-20cdot5-626203 =83cdot125-100-626203 =10003-100-626203 =1000-626203-100 =-616203-100 =-61620+3003 =-619203 =-20640

Resposta

a) x(t)=dfrac83t^3-20,t-dfrac626203
b) a(t)=16,t
c) Em t=5,s:
x(5)=-20640,
v(5)=180,
a(5)=80.

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