Se f(x)=x^2 /(1+x), encontre f^prime prime(1).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=x^21+x
e pede o valor de ,f''(1).
O conteúdo envolvido é derivação de ordem superior, que podemos fazer aplicando a regra do produto e cadeia ou a regra do quociente.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=x^2(1+x)^-1
e aplicamos a regra do produto ( ,(uv)'=u'v+uv') e a regra da cadeia em (1+x)^-1:
f'(x) =2x,(1+x)^-1 +x^2,l(-1r),(1+x)^-2 =2x(1+x)^-1-x^2(1+x)^-2

Passo 3

Colocamos sobre denominação comum (1+x)^2 para simplificar:
f'(x) =2x(1+x)-x^2(1+x)^2 =2x+2x^2-x^2(1+x)^2 =x^2+2x(1+x)^2

Passo 4

Para achar f''(x), aplicamos a regra do quociente em
f'(x)=N(x)D(x)
com N(x)=x^2+2x e D(x)=(1+x)^2.
Então N'(x)=2x+2 e D'(x)=2(1+x), e
f''(x) =N'(x)D(x)-N(x)D'(x)D(x)^2 =(2x+2)(1+x)^2-(x^2+2x),2(1+x)(1+x)^4
Fatorando (1+x) no numerador e simplificando, obtemos
f''(x) =2(1+x)(1+x)^4 =2(1+x)^3

Passo 5

Finalmente, avaliamos em x=1:
f''(1)=2(1+1)^3=22^3=28=14

Resposta

14

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