Encontre y^prime e y^prime prime.
y=ln xx^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primeira e a segunda derivadas de
y = ln xx^2
O conteúdo que vamos usar inclui reescrever y como produto e aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos
y = ln x cdot x^-2
Para obter y', aplicamos a regra do produto: se u = ln x e v = x^-2, então
y' = u',v + u,v'
Aqui u' = 1x e v' = -2,x^-3.

Passo 3

Substituindo em y' = u',v + u,v' temos
y' = 1x,x^-2 + ln x ,(-2,x^-3) = x^-3 - 2,x^-3ln x = x^-3l(1 - 2ln xr)

Passo 4

Agora, para encontrar y'', reescrevemos
y' = l(1 - 2ln xr),x^-3
Chamemos w = 1 - 2ln x e z = x^-3. Então
y'' = w',z + w,z'
Aqui w' = -2cdot1x = -2,x^-1 e z' = -3,x^-4.

Passo 5

Substituindo em y'' = w',z + w,z' obtemos
y'' = l(-2,x^-1r),x^-3 + l(1 - 2ln xr),(-3,x^-4) = -2,x^-4 - 3,x^-4l(1 - 2ln xr)
Agrupando termos em x^-4:
y'' = x^-4l(-2 - 3 + 6ln xr) = x^-4l(6ln x - 5r)

Resposta

y' = x^-3l(1 - 2ln xr), y'' = x^-4l(6ln x - 5r)

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