Encontre y^prime e y^prime prime.
y=ln (sec x+tg x)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de
y = lnl(sec x + tan xr)
O conteúdo envolve regra da cadeia (para ln) e derivadas das funções trigonométricas sec x e tan x.

Passo 2

Definimos
u(x) = sec x + tan x,
então, pela regra da cadeia para logaritmo,
y' = u'(x)u(x)

Passo 3

Calculamos u'(x). Sabemos que
ddxl(sec xr) = sec xtan x e ddxl(tan xr) = sec^2 x
Logo,
u'(x) = sec xtan x + sec^2 x

Passo 4

Substituindo em y' = u'/u, temos
y' = sec xtan x + sec^2 xsec x + tan x
Fatorando sec x no numerador:
sec xtan x + sec^2 x = sec xl(tan x + sec xr),
logo
y' = sec x(tan x + sec x)sec x + tan x = sec x

Passo 5

Agora derivamos y' = sec x. Como
ddxl(sec xr) = sec xtan x,
segue
y'' = sec xtan x

Resposta

y' = sec x, y'' = sec xtan x

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