Encontre e .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primeira e a segunda derivadas de
y = ln xx^2
Aqui o conteúdo é derivação de funções que envolvem logaritmo e potência. Vamos usar a regra do produto (ou a regra do quociente) junto com a regra da potência e a derivada de ln x.

Passo 2

É mais simples reescrever
y = x^-2,ln x
e aplicar a regra do produto. Definimos
u = ln x, v = x^-2
Então
u' = 1x, v' = -2,x^-3,
e pela regra do produto
y' = u'v + u,v' = 1x,x^-2 + ln x;(-2,x^-3)

Passo 3

Agora simplificamos:
y' = x^-3 -2,x^-3ln x = x^-3l(1 - 2ln xr)
Em forma de quociente:
y' = 1 - 2ln xx^3

Passo 4

Para y'' derivamos
y' = (1 - 2ln x),x^-3
de novo por produto, chamando
w = 1 - 2ln x, z = x^-3
Temos
w' = -2,1x = -2,x^-1, z' = -3,x^-4,
logo
y'' = w',z + w,z' = (-2,x^-1),x^-3 + (1 - 2ln x),(-3,x^-4)

Passo 5

Simplificando y'':
y'' = -2,x^-4 -3,(1 - 2ln x),x^-4 = x^-4l(-2 -3 +6ln xr) = x^-4l(6ln x -5r)
Em forma de quociente:
y'' = 6ln x -5x^4

Resposta

y' = 1 - 2ln xx^3, y'' = 6ln x -5x^4

Exercícios relacionados