Encontre y^prime se x^y=y^x.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade implícita
x^y = y^x
onde y depende de x. Para encontrar y' = dydx vamos usar logaritmo nas duas partes (para simplificar as potências) e depois aplicar diferenciação implícita com regra do produto e cadeia.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural em cada lado, usando ln(a^b)=bln a. Assim
lnl(x^yr) = lnl(y^xr)
implica
y,ln x ;=; x,ln y

Passo 3

Diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo aplicamos regra do produto em ycdotln x, e no direito em xcdotln y. Obtemos
ddxl(y,ln xr) = y',ln x + ycdot1x,
ddxl(x,ln yr) = 1cdotln y + xcdoty'y

Passo 4

Igualando as duas derivadas:
y',ln x + yx ;=; ln y + xy,y'
Agrupamos os termos com y' num lado e os sem y' no outro:
y',ln x - xy,y' = ln y - yx

Passo 5

Fatorando y' e isolando:
y',l(ln x - xyr) = ln y - yx,
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y' = ln y - dfracyxln x - dfracxy

Resposta

y' = ln y - tfracyxln x - tfracxy

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