1. Se g(x)+x sen g(x)=x^2, encontre g^prime(0).
25-26 Considere y como a variável independente e x como a variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y.
25. x^4 y^2-x^3 y+2 x y^3=0

Passo 1

A questão 24 pede a derivada de uma função definida implicitamente pela equação
g(x) + x senl(g(x)r) = x^2,
em x=0. O tema aqui é derivação implícita e avaliação de constantes iniciais.
A questão 25 pede dfracdxdy para
x^4y^2 - x^3y + 2xy^3 = 0,
tratando x como função de y. Também usaremos derivação implícita.

Passo 2

Para a questão 24, primeiro encontramos g(0) substituindo x=0 na definição:
g(0) + 0cdot senl(g(0)r) = 0^2 ;Longrightarrow; g(0) = 0

Passo 3

Agora derivamos os dois lados de
g(x) + x,senl(g(x)r) = x^2
em relação a x. Usando o produto e a cadeia,
g'(x) + l[1cdot sen(g(x)) + xcdot cos(g(x)),g'(x)r] = 2x
Agrupando os termos com g'(x),
g'(x),l[1 + xcos(g(x))r] + senl(g(x)r) = 2x
Em x=0, como g(0)=0, temos sen(g(0))=0 e 1+0cdotcos(0)=1. Logo,
g'(0)cdot 1 + 0 = 0 ;Longrightarrow; g'(0) = 0

Passo 4

Para a questão 25, diferenciamos
x^4y^2 - x^3y + 2xy^3 = 0
em relação a y, lembrando que x=x(y).
  1. dfracddyl(x^4y^2r) = 4x^3x',y^2 + x^4cdot 2y
  2. dfracddyl(-x^3yr) = -l(3x^2x',y + x^3cdot1r)
  3. dfracddyl(2xy^3r) = 2l(x',y^3 + xcdot 3y^2r)
    Somando tudo e igualando a zero,
x'l(4x^3y^2 - 3x^2y + 2y^3r) + l(2x^4y - x^3 + 6xy^2r) =0
Isolando x'=dfracdxdy,
dxdy = -2x^4y - x^3 + 6xy^2 4x^3y^2 - 3x^2y + 2y^3

Resposta

  1. g'(0) = 0
  2. dxdy = -2x^4y - x^3 + 6x y^2 4x^3y^2 - 3x^2y + 2y^3

Exercícios relacionados