Seja r(t)=lang<=e^t-1t, 2-t, ln (1+t)rang<=
Encontre r^prime(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial r(t)=lang<=e^t-1t,, 2-t,, ln (1+t)rang<= e precisamos encontrar a sua derivada, que é r^prime(t). Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos derivar cada componente da função vetorial em relação a t.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira componente: e^t-1t. Essa é uma fração, então vamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de uv é u'v - uv'v^2. Aqui, u = e^t - 1 e v = t.
Calculando u' e v':
  • u' = e^t (porque a derivada de e^t é e^t e a derivada de -1 é 0)
  • v' = 1 (derivada de t é 1)
Aplicando a regra do quociente:
ddt(e^t-1t) = e^t cdot t - (e^t-1) cdot 1t^2 = e^t t - e^t + 1t^2 = e^t(t - 1) + 1t^2

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda componente: 2 - t. Isso é simples, pois a derivada de uma constante é zero e a derivada de -t é -1. Portanto:
ddt(2 - t) = 0 - 1 = -1

Passo 4

Por último, vamos derivar a terceira componente: ln(1 + t). Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de ln(u) em relação a t é u'u, onde u = 1 + t.
Calculando u':
  • u' = 1 (derivada de 1 é 0 e de t é 1)
Aplicando a regra da cadeia:
ddtln(1 + t) = 11 + t

Resposta

Juntando todas as derivadas das componentes, a derivada da função vetorial é:
r^prime(t) = lang<=, e^t(t - 1) + 1t^2,; -1,; 11 + t ,rang<=

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