Encontre \alpha \in \mathbb{R} de modo que a equação diferencial abaixo seja exata
\left(e^{3 x}+5 x^{4} y\right) d x+\left(\alpha x^{5}+y^{3}\right) d y=0
Resolva a equação para este valor encontrado.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \alpha\in\mathbb{R} tal que a equação diferencial
\bigl(e^{3x}+5x^{4}y\bigr)\,dx + \bigl(\alpha x^{5}+y^{3}\bigr)\,dy = 0
seja exata, e em seguida resolver essa equação para o valor de \alpha encontrado.
Conteúdo: equações diferenciais exatas. Vamos usar a condição de exatidão e a ideia de função potencial.

Passo 2

Definição de exatidão: uma equação diferencial da forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N.
A condição prática é
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;\frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 3

Aqui M(x,y)=e^{3x}+5x^{4}y e N(x,y)=\alpha x^{5}+y^{3}. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =5x^{4}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =5\alpha\,x^{4}.
Igualando para exatidão:
5x^{4}=5\alpha\,x^{4} \quad\Longrightarrow\quad \alpha=1.

Passo 4

Com \alpha=1, a equação torna-se
\bigl(e^{3x}+5x^{4}y\bigr)\,dx + \bigl(x^{5}+y^{3}\bigr)\,dy = 0.
Buscamos \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M. Integramos M em relação a x:
\Phi(x,y) =\int\bigl(e^{3x}+5x^{4}y\bigr)\,dx =\frac{1}{3}e^{3x}+y\,x^{5}+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Impondo \Phi_y=N, temos
\Phi_y =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{1}{3}e^{3x}+x^{5}y+h(y)\Bigr) =x^{5}+h'(y) \overset{!}{=}x^{5}+y^{3}.
Logo h'(y)=y^{3}, de onde
h(y)=\frac{y^{4}}{4}.

Passo 6

Portanto a função potencial é
\Phi(x,y) =\frac{1}{3}e^{3x}+x^{5}y+\frac{y^{4}}{4},
e a solução geral da equação exata é
\Phi(x,y)=C,
ou seja
\frac{1}{3}e^{3x}+x^{5}y+\frac{y^{4}}{4}=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

\alpha=1 e a solução geral é
\frac{1}{3}e^{3x}+x^{5}y+\frac{y^{4}}{4}=C.

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