Encontre
de modo que a equação diferencial abaixo seja exata
Resolva a equação para este valor encontrado.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
tal que a equação diferencial
seja exata, e em seguida resolver essa equação para o valor de
encontrado.
Conteúdo: equações diferenciais exatas. Vamos usar a condição de exatidão e a ideia de função potencial.
Conteúdo: equações diferenciais exatas. Vamos usar a condição de exatidão e a ideia de função potencial.
Passo 2
Definição de exatidão: uma equação diferencial da forma
é exata se existe uma função
tal que
A condição prática é
Passo 3
Aqui
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Igualando para exatidão:
Passo 4
Com
, a equação torna-se
Buscamos
tal que
. Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 5
Impondo
, temos
Logo
, de onde
Passo 6
Portanto a função potencial é
e a solução geral da equação exata é
ou seja
com
constante arbitrária.