Resolva a equação diferencial:
y^{\prime}-5 y=e^{3 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem linear
y' - 5y = e^{3x}.
O conteúdo é “equação linear de 1ª ordem” e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Escrevemos na forma padrão y' + p(x)\,y = q(x). Aqui p(x) = -5 e q(x)=e^{3x}. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int (-5)\,dx} = e^{-5x}.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por \mu(x):
e^{-5x}\,y' - 5\,e^{-5x}\,y = e^{-5x}e^{3x}.
O lado esquerdo agora é a derivada do produto y\,e^{-5x}, pois
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-5x}\bigr) = e^{-5x}\,y' + y\,\bigl(-5e^{-5x}\bigr) = e^{-5x}\,y' - 5e^{-5x}\,y.
Então obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-5x}\bigr) = e^{-2x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{-5x} = \int e^{-2x}\,dx = -\tfrac12\,e^{-2x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y:
y = e^{5x}\Bigl(-\tfrac12\,e^{-2x} + C\Bigr) = -\tfrac12\,e^{3x} + C\,e^{5x}.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C\,e^{5x} - \tfrac12\,e^{3x},
onde C é constante arbitrária.

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