Resolva a equação diferencial não-homogênea pelo método dos coeficientes a determinar:
2 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-3 y=5 x^{3}+3 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
2y'' + 4y' - 3y = 5x^3 + 3
usando o método dos coeficientes a determinar.
Conteúdo: equações lineares com parte homogênea (solução geral da equação associada) e parte particular via palpite polinomial, porque o termo não-homogêneo é um polinômio em x.

Passo 2

Primeiro obtemos a solução geral da parte homogênea, resolvendo a equação característica
2r^2 + 4r - 3 = 0.
As raízes são
r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.
Logo a solução homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{\bigl(-1 + \tfrac{\sqrt{10}}{2}\bigr)x} + C_2 e^{\bigl(-1 - \tfrac{\sqrt{10}}{2}\bigr)x}.

Passo 3

Para a parte particular, como o lado direito é 5x^3 + 3, tomamos o palpite
y_p(x) = A x^3 + B x^2 + C x + D.
Então
y_p'(x) = 3A x^2 + 2B x + C, \quad y_p''(x) = 6A x + 2B.
Substituindo em 2y'' + 4y' -3y obtemos
2(6A x + 2B) \;+\; 4(3A x^2 + 2B x + C)\;-\;3(A x^3 + B x^2 + C x + D)
= -3A\,x^3 + (12A - 3B)\,x^2 + (12A + 8B - 3C)\,x + (4B + 4C - 3D).
Devemos igualar coeficientes a 5x^3 + 0x^2 + 0x + 3.

Passo 4

Igualando termo a termo:
\begin{cases} -3A = 5,\\\\ 12A - 3B = 0,\\\\ 12A + 8B - 3C = 0,\\\\ 4B + 4C - 3D = 3. \end{cases}
Resolvendo em sequência:
A = -\tfrac{5}{3},\qquad 12\bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr) -3B=0\;\Rightarrow\;B=-\tfrac{20}{3},
12\bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr) +8\bigl(-\tfrac{20}{3}\bigr)-3C=0 \;\Rightarrow\; C=-\tfrac{220}{9},
4\bigl(-\tfrac{20}{3}\bigr)+4\bigl(-\tfrac{220}{9}\bigr)-3D=3 \;\Rightarrow\; D=-\tfrac{1147}{27}.
Portanto
y_p(x) = -\tfrac{5}{3}\,x^3 \;-\;\tfrac{20}{3}\,x^2 \;-\;\tfrac{220}{9}\,x \;-\;\tfrac{1147}{27}.

Passo 5

A solução geral da equação dada é
y(x) = y_h(x) + y_p(x)
= C_1 e^{\bigl(-1 + \tfrac{\sqrt{10}}{2}\bigr)x} + C_2 e^{\bigl(-1 - \tfrac{\sqrt{10}}{2}\bigr)x} \;-\;\tfrac{5}{3}\,x^3 \;-\;\tfrac{20}{3}\,x^2 \;-\;\tfrac{220}{9}\,x \;-\;\tfrac{1147}{27}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{\bigl(-1 + \tfrac{\sqrt{10}}{2}\bigr)x} + C_2 e^{\bigl(-1 - \tfrac{\sqrt{10}}{2}\bigr)x} -\frac{5}{3}x^3 - \frac{20}{3}x^2 - \frac{220}{9}x - \frac{1147}{27}.

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