Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: M2(R) longrightarrow M2(R), T([lla & b c & d])=[cca & b-c c-a & d];(Antonio Vinicius)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
e pede: 1) valores próprios ; 2) autoespaços associados; 3) multiplicidades algébrica e geométrica; 4) se é diagonalizável.

Passo 2

Para achar e os vetores próprios, impomos
Isto gera o sistema
Ou seja

Passo 3

Se lambdaneq1, então (lambda-1)a=0 e (lambda-1)d=0 dão a=d=0;
de (1-lambda)c=a=0 vem c=0; e de (1-lambda)b=c=0 vem b=0.
Logo só existe a solução trivial, portanto o único valor próprio é
lambda=1
Como dim M2(R)=4 e só há lambda=1, sua multiplicidade algébrica é 4.

Passo 4

Para lambda=1 o sistema vira
0cdot a=0, b-c=b, c-a=c,0cdot d=0
ou seja
b-c=bimplies c=0, c-a=cimplies a=0,
e b,d ficam livres. Então o autoespaço associado a lambda=1 é
E1=l0&b0&d:b,dinRr,
que tem dimensão 2. Logo a multiplicidade geométrica de lambda=1 é 2.

Passo 5

Resumindo:
  • Valor próprio: lambda=1.
  • Multiplicidade algébrica: 4.
  • Multiplicidade geométrica: 2.
    Como a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, T não é diagonalizável.

Resposta

O único valor próprio é lambda=1, com
– autoespaço E1=0&b0&d de dimensão 2,
– multiplicidade algébrica 4 e geométrica 2.
Portanto, T não é diagonalizável.

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