Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(x-y-2 z,-x+2 y+z, x-3 z); (Carla Beatriz)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a transformação linear T:R^3toR^3 dada por
T(x,y,z) = (x - y - 2z,,-x + 2y + z,,x - 3z)
Precisamos achar os autovalores, os autovetores (autoespaços), as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e, por fim, decidir se T é diagonalizável.

Passo 2

Para achar os autovalores, escrevemos a matriz de T na base canônica:
A = 1 & -1 & -2 -1 & 2 & 1 1 & 0 & -3
O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det 1-lambda & -1 & -2 -1 & 2-lambda & 1 1 & 0 & -3-lambda = -lambda(lambda^2 - 6)
Logo os autovalores são lambda1 = 0, lambda2 = raiz6 e lambda3 = -raiz6, todos com multiplicidade algébrica 1.

Passo 3

Para
Dessas equações obtemos , logo
A multiplicidade geométrica de é 1.

Passo 4

Para lambda = raiz6, resolvemos (A - raiz6,I)v=0. Do terceiro pivô vem
x = (3+raiz6),z
Substituindo nas duas primeiras equações e eliminando y, achamos
y = (-5 - 2raiz6),z
Portanto
Eraiz6 = ker(A - raiz6,I) = span(3+raiz6,, -5 - 2raiz6,,1),
e sua multiplicidade geométrica é 1.

Passo 5

Para lambda = -raiz6, resolvemos (A + raiz6,I)v=0. Novamente o terceiro pivô dá
x = (3-raiz6),z,
e das outras equações segue
y = (-5 + 2raiz6),z
Assim
E-raiz6 = ker(A + raiz6,I) = span(3-raiz6,, -5 + 2raiz6,,1),
com multiplicidade geométrica 1.

Passo 6

Como os três autovalores são distintos e a soma das dimensões dos autoespaços é 1+1+1=3, que é a dimensão de R^3, concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

Os autovalores e autoespaços são:
lambda1 = 0, E0 = span(3,1,1), ma(0)=1,;mg(0)=1,
lambda2 = raiz6, Eraiz6 = span(3+raiz6,, -5 - 2raiz6,,1), ma(raiz6)=1,;mg(raiz6)=1,
lambda3 = -raiz6, E-raiz6 = span(3-raiz6,, -5 + 2raiz6,,1), ma(-raiz6)=1,;mg(-raiz6)=1
Como todos os autovalores têm multiplicidade geométrica igual à algébrica e são três autovalores distintos, T é diagonalizável.

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